如何简单地在微积分中求导

步骤

1. 

   1.理解一下导数记号的意思。

   下列两种表示方法是最常见的，不过在2理解一下导数的定义，和导数的用处。首先若要找出直线的斜率，只要选取两个点，把坐标代入(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。但是这只适用于直线方程。要是要找曲线的斜率，要找两个点，代入 [f(x + dx) - f(x)]/dx。 Dx表示"delta x，" 表示两个x坐标的差。注意这个公式和(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)差不多，只不过形式不同。因为曲线上用这种方法会出现偏差，所以要用非直接的方法找出斜率。要找出 (x, f(x))的斜率， dx 要趋于0，于是这两个点会无限接近另一个点。但是分母也不能等于0，所以把两个点的值代入以后，要用因式分解等等方法把分母的dx消掉。消掉后，让dx 等于 0，得出等式。 这就是 (x, f(x))的斜率了。导数是用来找出任何曲线的斜率的一般公式。看起来很麻烦，但是下面有一些例子来解释给你看。

方法 1.显微分

1. 

   1.如果一边的y表达式已经有了，用显导数解。

2. 

   2.把等式代入[f(x + dx) - f(x)]/dx。

   如 y = x - x 曲线的斜率是 2x。代入x，得到一个点的斜率

3. 

   4.以下是类似形式的导数式。

   • 任何次数的导数都是次数乘以原方程-1次。比如x， x。若x前已有数字，直接和次数相乘就行。如3x。

   • 任何常数的导数是0。 8 的导数是0
   • 和的导数是导数的和。比如 x 求导得3x(2x + 1) 得 x，即8x
   • 商的导数是(假设是 f/g形式) [g(f导数) - f(g导数)]/g + 2x - 21)/(x - 3) 求导得 (x。

方法 2.隐微分

1. 

   1.若写不出y只在一边的的表达式，就要用隐微分来求导了。

   即便硬要把y写到一边，用 dy/dx 求导也很麻烦。下面例子告诉你如何解决这类问题

2. 

   2.例子中 x = 3x + 2y，把y 替换成 f(x)，提醒你y是一个函数。

   然后就会变成x = 3x + 2f(x) 。

3. 

   3.要求导此方程，求等式两侧的关于x的微分（求导的专业术语），得到：xf'(x) = 3 + 2f'(x).

4. 4再把 f(x) 换成 y 。注意不要对f'(x)也替换，因为这东西和f(x)不一样。

5. 

   5.解出f'(x)。

   之后答案就会变成(3 - 2xy)/(x - 2)。

方法 3.高阶求导

1. 

   1.一般情况下求高阶导数意思是求导数的导数（即二阶求导）。

   如果叫你求三阶导数，意思是求导数的导数的导数。有的例子高阶导数会是0.

方法 4.链式法则

1. 

   1.当y是 z的微分方程，z是x的微分方程，y是x的复合方程。

   y关于x的导数 (dy/dx) 就是 (dy/du)*(du/dx)。链式法则可以用于复合次数项的等式，比如 (2x。要求导，只要类似求积法则，把整个等式乘以次数，把整个等式的次数减一。然后把整个等式乘以内部项的导数，（这里是 2x - x) - 1)。

小提示

• 无论何时看到一个很复杂的求导问题，不要担心，只要试试用乘积法则、商法则把方程切成尽量小的小块，然后各项求导。
• 多练习练习乘积法则、商法则、链式法则，以及特别要注意的隐微分，这些东西在微积分中是难点。
• 要熟悉计算器使用。试试计算器不同的功能来解出导数。尤其要知道怎么用切线、导数函数来解题（如果有这功能的话）
• 要把基本的三角函数求导原理和使用方法记住。

警告

• 不要忘了商法则中减号是在f[g'(x)]前的。很多人犯这个错。

参考

1. The Product Rule
2. Visual Calculus Implicit Differentiation
3. Implicit Differentiation Solution Problems